La courbe brachistochrone

Comment faire le toboggan le plus rapide possible ?

Plan

  1. Étude des propositions
    • Les deux propositions naïves
    • La proposition de Galilée
    • La solution de Bernoulli et Newton
  2. Propriétés de la brachistochrone
    • Construction géométrique
    • Tautochrone et isochrone
  3. Applications numériques

Hypothèses de départ

Solution naïve : ligne droite

On a \(A(0, y)\), \(B(x, 0)\) et \(\tan\alpha = \frac{y}{x}\)

Solution naïve : ligne droite

Étude cinématique :

$$\begin{aligned} \overrightarrow{AM}&=z\overrightarrow{u_z}, \\ \overrightarrow{v}&=\dot{z}\overrightarrow{u_z} ~ \text{et} \\ \overrightarrow{a}&=\ddot{z}\overrightarrow{u_z} \end{aligned}$$

Principe Fondamental de la Dynamique en projection :

$$\begin{cases}\begin{alignedat}{2} -&mg\cos\alpha+R_N~&=&~0 \\ &mg\sin\alpha~&=&~m\ddot{z}\end{alignedat}\end{cases}$$

$$z(t)=\frac{1}{2}g\sin(\alpha)t^2$$

Solution naïve : ligne droite

$$\sin\alpha = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

$$\sqrt{x^2+y^2} = \frac{1}{2}g\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}t_{f_1}^2$$

$$\text{Donc}~~t_{f_1} = \sqrt{2\frac{x^2+y^2}{gy}}$$

Solution naïve : ligne brisée

$$t_{f_2} = \text{temps en chute libre} + \text{temps à l'horizontal}$$

$$t_c = \sqrt{\frac{2y}{g}}$$

$$t_h = \frac{x}{\sqrt{2gy}}$$

$$\text{Donc}~~t_{f_1} = \sqrt{2\frac{x^2+y^2}{gy}}~~\text{et}~~t_{f_2} = \sqrt{\frac{2y}{g}}+ \frac{x}{\sqrt{2gy}}$$

$$\text{Par ailleurs}~~t_{f_2}<t_{f_1} \iff y < \frac{3}{4}x$$

Pour un carré ?

Galilée : un arc de cercle

Proposition de Galilée

On a \(A(0, y)\), \(B(x, 0)\) et \(C(r, y)\) tels que

$$\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}r \\ 0\end{pmatrix},\enspace \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}r-x \\ y\end{pmatrix}\enspace\text{et}\enspace \lVert\overrightarrow{AC}\rVert=\lVert\overrightarrow{BC}\rVert=r$$

Donc \(r=\frac{x^2+y^2}{2x}\)

Proposition de Galilée

Théorème de l'Énergie Mécanique :

$$E_{m}=E_{c}+\sum\limits_{i}{E_{p_{i}}}=\text{cte}$$

$$E_{m}=\frac{1}{2}m(r\dot\theta)^2+mgr(1-\sin\theta)=mgr$$

$$\dot\theta^2=\frac{2g}{r}\sin\theta$$

$$\dot\theta=\sqrt{\frac{2g}{r}}\cdot\sqrt{\sin\theta}$$

$$\frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}=\sqrt{\frac{2g}{r}}\cdot\sqrt{\sin\theta}$$

Proposition de Galilée

$$\text{d}t=\sqrt{\frac{r}{2g}}\cdot\frac{\text{d}\theta}{\sqrt{\sin\theta}}$$

$$t_\theta=\sqrt{\frac{r}{2g}}\cdot\int_{\theta_0=0}^\theta{\frac{1}{\sqrt{\sin{x}}}\text{d}x}$$

$$\int^x{\frac{1}{\sqrt{\sin{t}}}\text{d}t}\equiv-2F \left(\frac{1}{4}(\pi-2x)~\Big|~2\right)$$

\(F(x|m)\) est l'intégrale elliptique de Legendre

La solution !

Démonstration de la solution

Soit \(y=f(x)\) l'équation cartésienne de la courbe

On pose \(\text{d}s=\sqrt{(\text{d}x)^2+(\text{d}y)^2}\)

$$\text{d}s = \sqrt{(\text{d}x)^2(1+\Big(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}\Big)^2)}=\sqrt{1+{y'}^2}\text{d}x$$

Démonstration de la solution

On a d'autre part le Théorème de l'Énergie Mécanique :

$$E_{m}=\frac{1}{2}mv^2-mgy=0~~\text{donc}~~v=\sqrt{2gy}$$

$$v=\frac{\text{d}s}{\text{d}t}~~\text{donc}~~\text{d}t=\sqrt{\frac{1+{y'}^2}{2gy}}\text{d}x$$

$$t_f = \int^{x_b}_{x_a}\sqrt{\frac{1+{y'}^2}{2gy}}\text{d}x$$

Démonstration de la solution

$$F : y \mapsto \int^{x_b}_{x_a}\sqrt{\frac{1+{y'}^2}{2gy}}\text{d}x$$

$$F : y \mapsto \int^{x_b}_{x_a}L(x, y, y')\text{d}x~~\text{avec}~~L(x, y, y')=\sqrt{\frac{1+{y'}^2}{2gy}}$$

Identité de Beltrami : \(L-y'\frac{\partial L}{\partial y'}=k\) avec \(k\) une constante

$$\sqrt{\frac{1+{y'}^2}{2gy}}-y'\frac{y'}{2gy}\cdot\frac{1}{\sqrt{\frac{1+{y'}^2}{2gy}}}=k$$

Démonstration de la solution

$$\frac{1}{\sqrt{2gy(1+{y'}^2)}}=k$$

$$(1+{y'}^2)y=\text{constante}=2R$$

$$ \begin{cases} x(\theta) = R(\theta - \sin\theta) \\ y(\theta) = R(1 - \cos\theta) \end{cases} $$

Une cycloïde ?

$$ \begin{cases} x(\theta) = R(\theta - \sin\theta) \\ y(\theta) = R(1 - \cos\theta) \end{cases} $$

Tautochrone et isochrone

Paris-Marseille en toboggan

Les frottements dans tout ça ?

$$\begin{cases}\begin{alignedat}{2}x(\theta)&=&a((\theta-\sin \theta)~+~&\mu(1-\cos \theta)) \\ y(\theta)&=-&a((1-\cos \theta)~+~&\mu(\theta+\sin\theta)) \end{alignedat}\end{cases}$$

Merci de votre attention

Est-ce que vous avez des questions ?